Часто можно разбить все объекты на несколько групп, причем каждый объект входит только в одну из этих групп. Логично, что в таком случае общее число объектов равно сумме объектов из каждой из этих групп.

Если привести совсем простой пример, то:
В группе A находятся люди возраста от 11 до 20 лет - их 44, в группе B находятся люди возраста от 21 до 30 лет - их 52, в группе С находятся люди возраста от 31 до 40 лет - их 37. Тогда всего людей от 11 до 40 лет = 44 + 52 + 37 = 137.

Если привести более реальный пример для ЕГЭ, то:
Надо найти сколько слов длиной 3 можно составить из букв А, Б, В, Г так, чтобы буква В входила в каждое слово ровно один раз.
Буква В может стоять в слове на 1, 2 и 3 местах.
Посчитаем эти комбинации:

При применении правила суммы важно следить, чтобы каждый объект входил только одну из групп. Например, если объект входит сразу в две группы, то при сложении мы посчитаем его дважды, это даст неправильный ответ.

Пусть первый объект можно выбрать n способами, а второй объект можно выбрать m способами. Тогда пару этих элементов можно выбрать n * m способами.

Например, на утро у тебя есть три выбора блюд: овсянка, яичница и хлопья с молоком, на обед есть два вида блюда: борщ, гречка. Сколько разных комбинаций приема пищи можно составить?
С каждым утренним блюдом можно взять каждое обеденное блюдо, поэтому 2 * 3 = 6, распишу:

Более реальный пример для ЕГЭ. Мы, на самом деле, в примере из предыдущего правила использовали правило умножения. Задача. Найти количество двухбуквенных слов, состоящих только из букв XYZ. На первое место можно поставить три буквы, и на второе место тоже три буквы = 3 * 3 = 9 слов. Распишу:

Продолжая правило умножения можно вывести еще одну формулу.
Для этого решим задачу.
Сколько трехбуквенных слов можно составить из букв AB?
На вопрос о двухбуквенных словах мы знаем ответ это 2 2 = 4.
мы бы получили такие двухбуквенные комбинации: AA, AB, BA, BB.
теперь к каждой из этих четырех комбинаций добавим еще одну букву, либо А, либо B.
По правилу умножения это будет 4 2 = 8 комбинаций.
Если записать, как мы получили результат, то . (три места, в которые можно ставить по две буквы)
Также можно сделать и для десятибуквенных слов из букв AB (десять мест, в которые можно ставить по две буквы)
Или можно составить четырехбуквенные слова из букв ABCDEF (четыре места, в которые можно ставить по шесть разных букв)

Итого, получаем правило. Если разместить n типов объектов по m местам (при этом объекты могут повторяться), то получится комбинаций.

Решим задачу. Есть буквы АБВГДЕ. Сколько двухбуквенных слов можно составить из этих букв, если буквы не могут повторяться?
У нас есть 2 места в слове _ _ . На первое место мы можем поставить все 6 букв. С каждой из этих шести букв мы можем поставить уже 5 букв, чтобы не повторяться. Например, с буквой A можно поставить буквы БВГДЕ. Итого, получили 6 * 5 = 30 комбинаций.

Эту мысль можно продолжить и составить трехбуквенные слова из букв АБВГДЕ, чтобы не было повторений. Тогда у нас есть три места _ _ _ . На первое место можно поставить 6 букв, с ней на второе место можно поставить все буквы, кроме той, которую мы уже поставили, то есть 5 букв, к эти двум буквам на третье место можно поставить буквы, кроме двух, что мы уже поставили, то есть 4 буквы. Итого, получаем 6 5 4 = 120 комбинаций.

Если составлять k-буквенные слова из набора n букв, то получим . Эту формулу принято записывать так В итоге получаем

Решим задачу. Сколько слов можно составить, переставляя буквы местами в слове ИНФА?
На самом деле эту задачу можно переформулировать так: нужно составить четырехбуквенные слова из букв ИНФА, если буквы не могут повторяться. Это точь в точь формулировка размещений без повторений, то есть получим
(ноль факториал равняется единице).
Или можно рассмотреть задачу так:
У нас есть 4 места в слове для 4х букв. На первое место можно поставить одну из 4х букв, на второе место к этой букве можно поставить уже 3 буквы (одна уже использована), на третье место можно поставить только две буквы, а на четвертое к этим уже поставленным буквам, остается только одна буква. Итого,

Подытожим. Если нужно посчитать количество комбинаций, которые получатся в результате перестановки n различных объектов, то используется формула

Подсчитаем сколько комбинаций получится если переставлять местами буквы в слове МОЛОКО. Мы не можем использовать тут формулу перестановок без повторений, потому что буква O повторяется три раза. Поэтому попробуем поступить так, сделаем эти буквы О разными и присвоим к ним номера. М О1 Л О2 К О3 . В этом случае можно пользоваться формулой перестановок без повторений. Тут 6 букв, поэтому . Но рассмотрим подробнее, что мы тут насчитали. Например, для нас комбинации
М О1 Л О2 К О3
М О1 Л О3 К О2
М О2 Л О3 К О1
М О2 Л О1 К О3
М О3 Л О1 К О2
М О3 Л О2 К О1
являются различными, хоть мы понимаем, что перед нашими глазами одно и тоже слово МОЛОКО. Вместо того чтобы посчитать слово МОЛОКО 1 раз, мы посчитали его 6 раз. И это относится к каждому слову, мы посчитали каждое слово по 6 раз! Следовательно реальный ответ в 6 раз меньше .
Теперь задумаемся, откуда взялась эта шестерка, на которую мы делили. На самом деле если присмотреться к комбинациям
М О1 Л О2 К О3
М О1 Л О3 К О2
М О2 Л О3 К О1
М О2 Л О1 К О3
М О3 Л О1 К О2
М О3 Л О2 К О1
тут видно что мы перебираем всевозможные перестановки трех пронумерованных букв O, а это по формуле перестановок без повторений . То есть ответ на нашу исходную задачу вычисляется так .

Этот ход мыслей подошел бы, если бы повторялась еще какая то буква, например, она бы повторялась k раз, тогда бы надо было ответ поделить на .

Сформулируем формулу. Если у нас есть всего n объектов, один вид объектов повторяется k1 раз, другой вид объектов k2 раз и т.д., то формула перестановок с повторениями выглядит так: т.к. общее число объектов n на самом деле равняется сумме повторений каждого из объектов, то , поэтому формулу записывают так:Решим такую задачу. Сколько слов можно составить переставляя буквы местами в слове КРОКОДИЛ ? Посчитаем кто сколько раз повторяется: К - 2, Р - 1, О - 2, Д - 1, И - 1, Л - 1. По формуле:

1 вариант.
Решим такую задачу. У нас есть по одной карте номиналов 8, 9, 10, В, Д, К, Т (валет, дама, король, туз если что). Нужно составить все варианты комбинаций из трех карт, которые могли оказаться у меня на руке.
Казалось бы можно использовать формулу размещений без повторений. Возьмем три места, на первое место можем разместить 7 вариантов карт, на второе - 6, на третье - 5. Получим . Но в формуле размещений без повторений, такие комбинации как, например, 9-10-В и В-10-9 считаются разными, но мы то понимаем, что у нас на руках одни и те же карты в обоих случаях. Если конкретно расписать, то у нас опять получилось в раз больше вариантов чем надо:
9-10-В
9-В-10
10-9-В
10-В-9
В-10-9
В-9-10
Все комбинации выше это на самом деле одна комбинация, которую мы посчитали 6 раз. и так мы поступили с каждой комбинацией, каждую посчитали по 6 раз, поэтому ответ в 6 раз меньше. Ответ будет таким Подытожим. Если нам нужно выбрать k объектов из n объектов без повторений и при этом порядок элементов в каждой комбинации нам не важен, то используется формулаЕсли верхний способ "прийти" к формуле кажется трудным, есть другой, на мой взгляд полегче.

2 вариант.
Нам на руку нужно выбрать 3 карты из набора 8, 9, 10, В, Д, К, Т. Сколько таких вариантов существует. Какие карты выбраны, а какие нет, можно закодировать нулями и единицами. Например, набор 1 0 0 1 1 0 0 значит, что мы взяли 8-В-Д. Логично, что в наборе из нулей-единиц всегда будет три единицы и 4 нуля. Количество таких наборов из нулей и единиц можно посчитать переставляя единицы и нули местами. Таким образом мы приходим к формуле перестановок с повторениями. У нас 3 единицы и 4 нуля, поэтому:В общем виде формулу запишем так. Если мы выбираем k объектов из n и порядок объектов в комбинациях нам не важен, то у нас всегда будет k единиц в наборе и (n-k) нулей, следовательнои